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Quand nous parlons de propriétés des fractales, ont devrait plutôt s’exprimer en disant « particularités » des fractales. En effet, les fractales étant déjà définies, il nous reste  juste  a expliquer certaines de leurs particularités.

• La dimension fractale.

Les trois dimensions entières

Enumérons et détaillons les dimensions entières, cartésiennes et connues de tous :

• La dimension D d’un segment (par exemple) est de 1. Lorsque la taille du segment est double, on multiplie sa longueur par 2.
• La dimension D d’une surface simple et bornée (mettons l’aire d’un carré) est de 2.lorsque la taille des longueurs se double, il faut multiplier par 4 l’aire (4=2²).
• La dimension D d’un volume simple et borné dans l’espace (prenons un cube) est de 3. Si on multiplie par 2 les arrêtes de ce cubes (ses « segments »), il faudra multiplier par 8 son aire (8=2³).

Une illustration sera la bienvenue pour éclaircir ces données et ces explications.

On peut donc dire que si D est la dimension d’un objet, alors la mesure de cet objet est multipliée par n^D lorsque la taille de cet objet est multipliée par n.

Maintenant, nous allons trouver, grâce à cette nouvelle approche, une dimension d’objet fractale.

Prenons par exemple la courbe de Van Koch.  Nous savons que cette courbe est constituée de quatre copies d’elle-même, trois fois plus petites. C’est cette fonction qu’il suffit de répéter, d’itérer afin d’obtenir un courbe de Koch. Donc, la courbe est multipliée par 4 lorsque sa taille triple, et Puisque 4 = 3^1,26, on peut considérer intuitivement qu’il s’agit d’un objet de dimension D=1,26. ). Il ne s’agit plus d’un simple courbe unidimensionnelle, ni d’une surface, elle se situe « entre les deux ». Cette « dimension fractale », non entière, est caractéristique des ensembles fractals.

Voici enfin la formule permettant de  calculer la dimension  de fractales formées de répliques d’elle-même en plus petit.

Où la fractale de départ est formée de n exemplaires dont la taille a été réduite d’un facteur h (pour homothétie).

Voici un tableau comprenant toutes les dimensions fractales, en fonction de chaque ensemble :

Définition	Applicabilité	Formule	Commentaires
Dimension de Hausdorff	la plus rigoureuse, elle est peu aisée à mettre en œuvre.	où Hs(X) est la mesure de Hausdorff de l’ensemble	Elle s’appuie sur une mesure, la mesure de Hausdorff. C’est la valeur critique de s pour laquelle la valeur de la mesure Hs(X) passe de 0 à l’infini.
Dimension d’homothétie (1)	Limitée aux ensembles à homothéties internes	Dh est solution de  où N est le nombre d’homothéties et rk le rapport de l’homothétie de rang k. Dans le cas de rapports identiques, elle admet une solution analytique simple (voir ci-dessous)	C’est la traduction la plus simple simple de la dimension de Hausdorff, applicable aux seuls ensembles fractals a homothétie interne. Attention, cette formule n’est pas applicable dans le cas de transformations affines ou non-linéaires.
Dimension d’homothétie (2)	Limitée aux ensembles à homothéties internes de même rapport	où N est le nombre d’homothéties et r le rapport d’homothétie	C’est un cas particulier de solution pour l’équation générale ci-dessus. La dimension d’homothétie vaut alors le quotient logarithmique entre le nombre d’homothéties internes de l’ensemble, sur l’inverse du rapport d’homothétie.
Dimension de Minkowski Bouligand ou « Box-countig »	Tout ensemble	où N(ε) est un nombre de sous-ensembles de diamètre au plus ε nécessaires pour recouvrir l’ensemble.	La plus courante et la plus simple pour mesurer numériquement la dimension d’une fractale. Elle prend pour base la couverture de l’ensemble fractal par des ensembles de taille décroissants. S’appuie sur une notion de comptage et non de mesure, ce qui la rend moins universelle. Peut, alors, être supérieure à la dimension de Hausdorff, mais jamais inférieure.

Relations entre ces dimensions

On montre, dans le cas général, que :

où :

D_t est la dimension topologique de l’ensemble

D_c est la dimension de corrélation de l’ensemble

D_i est la dimension d’information de l’ensemble

D_H est la dimension de Hausdorff de l’ensemble (ou dimension d’homothétie)

D_box est la dimension de Minkowski de l’ensemble

D_d est la dimension « divider » de l’ensemble

En cas d’autosimilarité stricte, on dit que D_H = D_box.

Mais a notre niveaux, on s’arretera à la brève formule :    

Exemples d’ojet fractales a dimensions diverses :

• Un côté du flocon de Koch est formé de n = 4 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut :

• Le triangle de Sierpinski est formé de n = 3 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 2 . Sa dimension fractale vaut :

• Le tapis de Sierpinski est formé de n = 8 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut :

Un objet fractale de dimension 2,47 :

Applications et limites

La recherche de la dimension fractale trouve des débouchée dans de nombreux domaines tels que la physique, l’analyse d’image, l’acoustique, l’analyse des zéros de la fonction de Riemann^[ ou les processus electrochimiques.

Les définitions de dimension fractale présentées dans la section précédente s’entendent à la limite, lorsque ε tend vers zéro. Or cette limite n’est jamais atteinte dans le monde physique à cause des limites moléculaire ou quantique. Pour cette raison il n’existe pas d’objet physique fractal au sens strict.

La dimension fractale n’est, en pratique, calculée que sur un intervalle défini, généralement pour des valeurs de ε visibles (ou significatives vis-à-vis des propriétés que l’on souhaite étudier). On définira ainsi une dimension fractale apparente ou approximative.

Une courbe de Koch paradoxale. Sa dimension fractale ne traduit pas sa rugosité apparente.

Cette restriction peut également concerner des constructions purement géométriques. A titre de contre-exemple, dans l’illustration ci-contre, on a défini une figure fractale paradoxale ayant l’aspect de la courbe de Koch mais ayant la dimension fractale de l’ensemble de Cantor (log(2) / log(3)). Elle est construite à la manière de Koch sur les premières itérations, celles concernant des intervalles de longueur visibles, mais continue à l’infini avec la construction de l’ensemble triadique de Cantor. Si l’on s’en tient à l’aspect visible, on peut considérer sa dimension fractale apparente, qui vaut celle de la courbe de Koch (log(4) / log(3)), sur les intervalles de ε visibles.

Cet exemple illustre par ailleurs que dimension fractale et « rugosité » apparente, concept popularisé par Mandelbrot, ne vont pas toujours de paire.

• caracteristique fractale

Un objet fractal possède au moins l’une des caractéristiques suivantes :

• sa dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa dimension topologique. Cette caractéristique est généralement prise comme définition même d’un objet fractal. Pour exprimer la chose autrement, un réseau d’irrigation est un déploiement de lignes (« en 1D ») qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (« en 2D »). La surface du poumon (« en 2D ») est repliée en une sorte de volume (« en 3D »). De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension non-entière.
• il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
• il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
• il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c’est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties .

Il y a principalement deux types de fractales mathématiques.

1. Les fractales linéaires ou géométriques, construites à partir d’homothétie interne : Koch, Cantor (transformation géométrique qui consiste à faire correspondre a tout élément d’ un ensemble A un élément d’un ensemble B et un seul).
2. Les fractales non linéaire ou déterministes, construite à partir de la réitération de fonctions complexes, ces fractales sont à l’origine de la théorie du chaos ( Mandelbrot, Sierpinsky, Menger)

1. I. LES FRACTALES LINEAIRES :

Voici un exemple classique de fractale, la courbe de von Koch, dans sa variante appelée habituellement « flocon de neige de von Koch ». Le flocon de neige de Koch est l’une des premières fractales présentées aux étudiants, ainsi que l’une des toutes premières décrites dans l’histoire des mathématiques. La forme complexe apparait dans un article du mathématicien Helge von Koch, publié en 1904. Niels Fabian Helge Von Koch est né le 25 janvier 1870 à Stockholm en Suède et mort le 11 mars 1924 dans cette même ville. La courbe qui porte son nom, est un célèbre exemple de courbe de longueur infinie, continue en tout point et dérivable en aucun point. Pour créer cette courbe de Koch, nous pouvons de manière récursive modifier un segment. Imaginer d’abord de le scinder en trois parties égales. Ensuite remplacez la partie centrale par deux segments, tous deux de meme longueur que les trois premiers, de telle sorte qu’ils dessinent une sorte de V (les cotés superieurs d’un triangle equilateral). Répetez le processus pour chacun des segments

La courbe de Koch, dans ce cas, à chaque itération on crée à partir de chaque côté 4 nouveaux côtés similaires dans un facteur de réduction égal à 1/3. La dimension fractale est donc log4/log3=1,26

Le flocon s’obtient de la meme manière : en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral une transformation simple : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée et on recommence la même opération sur chaque côté de la figure obtenue. À la première itération, on obtient une image proche d’une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. Remarque capitale, à quelque grossissement qu’on examine la « courbe » on observera les mêmes détails… pour autant que le nombre d’itérations soit infini (ou, au moins, assez important).

• La poussière de Cantor :

C’est M.Georg Cantor, mathématicien allemand du début du 20 ème siècle, qui a découvert cet « ensemble fractal » qui se construit très simplement en enlevant le tiers médian de la barre de départ et en répétant se procédé à l’infini, ce qui fini par « pulvériser » la barre de départ en poussière.

Ci sessous : La barre de départ, puis les 5 premières étapes de construction

de « l’ensemble fractal» appelé : Poussière de Cantor

La poussière de Cantor possède une dimension de log2/log3 soit environ 0,63, car en supprimant le segment central on crée 2 segments similaires dans un facteur de réduction égal à 1/3.

• L’arbre de Pythagore

Voici un autre exemple de fractale moins connu : L’arbre de Pythagore

L’arbre de Pythagore est une fractale plane construite à l’aide de carés. Elle porte le nom de Pythagore car chaque triplet de carrés en contact enclot un triangle rectangle, une configuration traditionnellement utilisée pour illustrer le théorème de Pythagore.

La construction de l’arbre de Pythagore débute avec un simple carré. Sur ce carré sont construits deux autres carrés, chacun plus petit d’un facteur ½√2, tels que les coins des carrés soient en contact. La procédure est appliquée récursivement à chaque carré, jusqu’à l’infini. L’illustration ci-dessous illustre les premières itérations de la construction.

Avec la courbe de von Koch, la poussière de Cantor, et l’arbre de Pythagore nous venons de voir un premier ensemble de fractales construites simplement par l’itération d’une opération géométrique simple. Cela ne met en œuvre aucun concept compliqué et pourtant on aboutit à des figures dont les propriétés auraient paru impensables à Euclide puisque leur dimension n’est pas 1.

1. I. LES FRACTALES DETERMINISTES :

• L’éponge de Menger

L’éponge de Menger est un solide fractal présentant un nombre infini de trous (un objet cauchemardesque à regarder pour un poinçonneur). L’objet a d’abord été décrit par le mathématicien Karl Menger, en 1926. Pour construire l’éponge, commençons par « un cube mère » et subdivisons-le en 27 cubes identiques plus petits. Puis retirons le cube situé au centre  et les six cubes ayant une face en commun avec lui. Il reste 20 cubes. Répétons le processus indéfiniment. Le nombre de cubes augmente de 20ⁿ, ou n désigne le nombre d’itérations opérées sur le cube mère. La deuxième itération nous fournit 400 cubes. Une fois arrivés à la sixième itération, nous sommes face à 64 000 000 de cubes.

Chaque face de l’éponge de Menger est appelée tapis de Sierpinsky. Les antennes fractales fondées sur le tapis de Sierpinsky sont parfois utilisées comme récepteurs efficaces des signaux électromagnétiques. Les tapis et le cube lui-même possèdent des propriétés géométriques fascinantes. Par exemple, l’éponge possède une superficie infinie, tout en renfermant un volume égal à 0.

Alors qu’une ligne est unidimensionnelle et un plan bidimensionnelle, le tapis de Sierpinsky présente une dimension fractale égale à 1,89 ; L’éponge de Menger, quant à elle, se caractérise par une dimension fractale, entre le plan et le solide, égale 2,73 environ.

Michel Lucas, sculpteur de cet objet d’art insolite, est enseignant retraité de Centrale Nantes et passionné depuis vingt ans d’origami  (art japonais du pliage de papier) et de fractal solide !

• L’ensemble de Mandelbrot :

David Darling a écrit que l’ensemble de Mandelbrot est « la fractale la plus connue et l’un des plus beaux objets mathématiques qui soient ». Le Guinness des records l’a qualifié d’ « objet le plus complexe des mathématiques ». Arthur C. Clarke souligne a quel point l’informatique est utile pour avoir une idée plus précise de cet ensemble : « En principe l’ensemble de Mandelbrot aurait pu être découvert dés que les hommes apprirent à compter. Mais, même en imaginant qu’ils se soient jamais lassés et n’aient jamais commis d’erreur, tous les êtres humains qui ont vu le jour n’auraient pas suffit pour effectuer les calculs élémentaires nécessaires à un ensemble de Mandelbrot d’une taille relativement modeste ».

L’ensemble de Mandelbrot est une fractale, objet qui affiche les détails structurels similaires qu’elle que soit l’échelle d’agrandissement. Pensez aux magnifiques images d’ensemble de Mandelbrot comme crées par des boucles d’asservissements. De fait, l’ensemble est produit par itération, ou répétition de la formule très simple : Z_n+1 = Z_n+C, pour les valeurs complexes de Z et C, et pour Z₀=0. L’ensemble contient tous les points pour lesquels la formule ne produit pas de valeurs qui divergent vers l’infini.

La structure de l’ensemble de Mandelbrot contient des spirales extrêmement fines et des chemins morcelés, contenant une infinité de formes à l’aspect d’ilots. Les agrandissements informatiques permettent d’obtenir des images que l’œil humain n’a jamais vues auparavant. L’incroyable immensité de l’ensemble de Mandelbrot a conduit Tim Wegner et Mark Peterson à la remarque suivante « Peut-être avez-vous entendu parler de cette société qui, moyennant l’acquittement d’une somme, attribuera votre nom à une étoile. Peut-être en sera-t-il bientôt de même avec l’ensemble de Mandelbrot ! ».