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Oui un semblant d’introduction et seulement un semblant. Le monde des fractals est particulièrement vaste et presque impossible à résumer en quelques lignes. nous tenterons néanmoins de délivrer une introduction concise mais complète de cette fascinante notion.

 Le terme fractal a été créé par Mandelbrot en 1975, à partir de la racine Latine fractus qui signifie brisé, irrégulier. Pour donner une très brève définition d’une fractale, on pourrait dire qu’il s’agit d’une forme dont le détail reproduit la partie, et la partie le tout, quelle que soit l’échelle. La géométrie fractale génère donc des structures extrêmement voir même infiniment fracturées.  Le développement de ce nouveau type de géométrie est sûrement l’une des plus utiles et des plus intéressantes découverte du XXème siècle en mathématique. Les fractals permettent de décrire en quelques règles simples et relativement accessibles les structures naturelles qui forment et composent notre environnement.

 On pourrait définir et résumer le principe et l’idée motrice des fractals par cette phrase toute simple : La complexité émerge de la simplicité. Les fractals donnent et dévoilent la structure de la complexité ainsi que la beauté du chaos. La notion même de fractal découle du fait que les systèmes dynamiques ne présentent pas de réels linéarités mais sont en fait non linéaire. La nature elle même démontre cette caractéristique de non linéarité, ce qui explique que la plupart des structures qui nous entourent sont mieux explicitées et décrites par les fractals que par tout autres notions mathématiques.

En effet, Depuis toujours les mathématiques raisonnent dans un univers Euclidien composé de formes parfaites et lisses : droites, cubes, sphères etc… Pourtant, comme le dit Mandelbrot lui même dans une approche
fractale des marchés, les nuages, les montagnes ou encore l’écorce des arbres  ne sont ni des sphères, ni des cônes ni des surfaces lisses. « Les mathématiques appliqués se sont concentrés pendant plus d’un siècle sur des phénomènes et des formes lisses et linéaires, mais plusieurs éléments ne sont pas ainsi constitués. En effet plus on zoomera sur un des fragments de l’objet, plus la structure se révélera complexe » explique David Mumford, professeur de mathématique à la Brown University.  Cette interprétation partiellement erronée de notre environnement nous empêche de répondre à des questions essentiels et incontournable. Mandelbrot l’explicite très bien dans son ouvrage-Fractales, Hasard et Finance-, la géométrie Euclidienne ne nous permet pas de mesurer correctement  la volatilité des marchés de sorte à pouvoir évaluer les risques financiers de manières optimales, elle ne nous permet pas non plus de mesurer la cote de Bretagne ou encore de déterminer la densité des galaxies dans l’univers , la forme d’un nuage, d’une flamme ou d’une soudure. Sans parler de l’évidente impossibilité de comparer les  » rugosités d’objets commun » -pour reprendre les mots de Mandelbrot- tel qu’une pierre cassée, un talus, une montagne ou un bout de ferre rouillée. Enfin il nous serait impossible de caractériser la forme d’une rivière, d’une ligne partage des eaux ou de la frontière d’un bassin d’attraction, non pas hydrauliques mais dynamiques. Dans la majeur partie de ces exemples, un petit fragment de l’élément en question, lorsqu’il élargit, ressemble à la forme et à la structure globale de l’objet.

 Eugène Delacroix l’a très bien dit « tout est idéalisé par l’homme. La ligne droite elle-même est son invention, car elle n’est nulle part dans la nature ». Mais Delacroix n’était pas le seul. Nombre de peintres tel que Leonardo da Vinci ou Katsushika Hokusai ( notamment dans sa célèbre représentation de La Grande Vague ) avaient deja, de leur temps, remarqué le principe même de fractal a travers une notion phare de cette géométrie révolutionnaire, la rugosité. Cette notion majeur, ne fait pas partie de cet univers euclidien que nous avons adoptés, et pourtant, elle est l’essence même de bien des objets dans la nature
– comme dans l’économie. Malheureusement, à cette époque nous n’avions pas la capacité d’exploiter et d’ utiliser correctement ces découvertes sur ces nouvelles notions . En effet, les ordinateurs n’existaient pas encore, et il leur était presque impossible de déterminer de très pointus algorithmes ainsi que de résoudre de volumineux calculs nécessaires à la compréhension et à la mise en pratique de ces théories.

 Grace aux fractals (et aux ordinateurs), on a désormais la possibilité de calculer ce « degré de rugosité » . Avec ce principe phare, On comprend désormais pourquoi Mandelbrot appela ce nouveau principe géométrique « fractale » (voir en début d’article), la rugosité étant à l’essence même de sa découverte. Pour résumer, la clé des fractals consiste à « repérer la régularité dans l’irrégulier, la structure dans l’informe » d’un certain nombre d’objet.

Mais le monde des fractals ne se limite pas à ces sujets et découvertes divers. En effet, la géométrie fractale touche aussi le domaine de la physique puisque les physiciens s’intéressent, eux aussi, à cette incroyable notion. Ainsi, les fractals peuvent parfois décrire le comportement chaotique d’un phénomène physique comme le déplacement des planètes, le flux des fluides la vibration des ailes d’avions. Souvent, un comportement chaotique génère des modèles fractals.

Vous l’aurez compris, le monde, je dirais même l’univers des fractals est particulièrement vaste et varié. Cette nouvelle notion, découverte aux différents aspect, touche de très nombreux domaines,  des sciences naturelles à la production informatique d’effets spéciaux pour le cinéma, en passant par la finance et par l’art, les fractals nous permettent d’apprendre quantité de choses sur notre environnement et nous incite à le voir d’un autre oeil.

Nous vous laissons ci dessous le début d’une série de
vidéos qui accompagneront notre développement et nos travaux sur
les fractales :