Il y a principalement deux types de fractales mathématiques.
- Les fractales linéaires ou géométriques, construites à partir d’homothétie interne : Koch, Cantor (transformation géométrique qui consiste à faire correspondre a tout élément d’ un ensemble A un élément d’un ensemble B et un seul).
- Les fractales non linéaire ou déterministes, construite à partir de la réitération de fonctions complexes, ces fractales sont à l’origine de la théorie du chaos ( Mandelbrot, Sierpinsky, Menger)
- I. LES FRACTALES LINEAIRES :
Voici un exemple classique de fractale, la courbe de von Koch, dans sa variante appelée habituellement « flocon de neige de von Koch ». Le flocon de neige de Koch est l’une des premières fractales présentées aux étudiants, ainsi que l’une des toutes premières décrites dans l’histoire des mathématiques. La forme complexe apparait dans un article du mathématicien Helge von Koch, publié en 1904. Niels Fabian Helge Von Koch est né le 25 janvier 1870 à Stockholm en Suède et mort le 11 mars 1924 dans cette même ville. La courbe qui porte son nom, est un célèbre exemple de courbe de longueur infinie, continue en tout point et dérivable en aucun point. Pour créer cette courbe de Koch, nous pouvons de manière récursive modifier un segment. Imaginer d’abord de le scinder en trois parties égales. Ensuite remplacez la partie centrale par deux segments, tous deux de meme longueur que les trois premiers, de telle sorte qu’ils dessinent une sorte de V (les cotés superieurs d’un triangle equilateral). Répetez le processus pour chacun des segments
La courbe de Koch, dans ce cas, à chaque itération on crée à partir de chaque côté 4 nouveaux côtés similaires dans un facteur de réduction égal à 1/3. La dimension fractale est donc log4/log3=1,26
Le flocon s’obtient de la meme manière : en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral une transformation simple : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée et on recommence la même opération sur chaque côté de la figure obtenue. À la première itération, on obtient une image proche d’une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. Remarque capitale, à quelque grossissement qu’on examine la « courbe » on observera les mêmes détails… pour autant que le nombre d’itérations soit infini (ou, au moins, assez important).
C’est M.Georg Cantor, mathématicien allemand du début du 20 ème siècle, qui a découvert cet « ensemble fractal » qui se construit très simplement en enlevant le tiers médian de la barre de départ et en répétant se procédé à l’infini, ce qui fini par « pulvériser » la barre de départ en poussière.
Ci sessous : La barre de départ, puis les 5 premières étapes de construction
de « l’ensemble fractal» appelé : Poussière de Cantor
La poussière de Cantor possède une dimension de log2/log3 soit environ 0,63, car en supprimant le segment central on crée 2 segments similaires dans un facteur de réduction égal à 1/3.
Voici un autre exemple de fractale moins connu : L’arbre de Pythagore
L’arbre de Pythagore est une fractale plane construite à l’aide de carés. Elle porte le nom de Pythagore car chaque triplet de carrés en contact enclot un triangle rectangle, une configuration traditionnellement utilisée pour illustrer le théorème de Pythagore.
La construction de l’arbre de Pythagore débute avec un simple carré. Sur ce carré sont construits deux autres carrés, chacun plus petit d’un facteur ½√2, tels que les coins des carrés soient en contact. La procédure est appliquée récursivement à chaque carré, jusqu’à l’infini. L’illustration ci-dessous illustre les premières itérations de la construction.
Avec la courbe de von Koch, la poussière de Cantor, et l’arbre de Pythagore nous venons de voir un premier ensemble de fractales construites simplement par l’itération d’une opération géométrique simple. Cela ne met en œuvre aucun concept compliqué et pourtant on aboutit à des figures dont les propriétés auraient paru impensables à Euclide puisque leur dimension n’est pas 1.
- I. LES FRACTALES DETERMINISTES :
L’éponge de Menger est un solide fractal présentant un nombre infini de trous (un objet cauchemardesque à regarder pour un poinçonneur). L’objet a d’abord été décrit par le mathématicien Karl Menger, en 1926. Pour construire l’éponge, commençons par « un cube mère » et subdivisons-le en 27 cubes identiques plus petits. Puis retirons le cube situé au centre et les six cubes ayant une face en commun avec lui. Il reste 20 cubes. Répétons le processus indéfiniment. Le nombre de cubes augmente de 20n, ou n désigne le nombre d’itérations opérées sur le cube mère. La deuxième itération nous fournit 400 cubes. Une fois arrivés à la sixième itération, nous sommes face à 64 000 000 de cubes.
Chaque face de l’éponge de Menger est appelée tapis de Sierpinsky. Les antennes fractales fondées sur le tapis de Sierpinsky sont parfois utilisées comme récepteurs efficaces des signaux électromagnétiques. Les tapis et le cube lui-même possèdent des propriétés géométriques fascinantes. Par exemple, l’éponge possède une superficie infinie, tout en renfermant un volume égal à 0.
Alors qu’une ligne est unidimensionnelle et un plan bidimensionnelle, le tapis de Sierpinsky présente une dimension fractale égale à 1,89 ; L’éponge de Menger, quant à elle, se caractérise par une dimension fractale, entre le plan et le solide, égale 2,73 environ.
Michel Lucas, sculpteur de cet objet d’art insolite, est enseignant retraité de Centrale Nantes et passionné depuis vingt ans d’origami (art japonais du pliage de papier) et de fractal solide !
- L’ensemble de Mandelbrot :
David Darling a écrit que l’ensemble de Mandelbrot est « la fractale la plus connue et l’un des plus beaux objets mathématiques qui soient ». Le Guinness des records l’a qualifié d’ « objet le plus complexe des mathématiques ». Arthur C. Clarke souligne a quel point l’informatique est utile pour avoir une idée plus précise de cet ensemble : « En principe l’ensemble de Mandelbrot aurait pu être découvert dés que les hommes apprirent à compter. Mais, même en imaginant qu’ils se soient jamais lassés et n’aient jamais commis d’erreur, tous les êtres humains qui ont vu le jour n’auraient pas suffit pour effectuer les calculs élémentaires nécessaires à un ensemble de Mandelbrot d’une taille relativement modeste ».
L’ensemble de Mandelbrot est une fractale, objet qui affiche les détails structurels similaires qu’elle que soit l’échelle d’agrandissement. Pensez aux magnifiques images d’ensemble de Mandelbrot comme crées par des boucles d’asservissements. De fait, l’ensemble est produit par itération, ou répétition de la formule très simple : Zn+1 = Zn+C, pour les valeurs complexes de Z et C, et pour Z0=0. L’ensemble contient tous les points pour lesquels la formule ne produit pas de valeurs qui divergent vers l’infini.
La structure de l’ensemble de Mandelbrot contient des spirales extrêmement fines et des chemins morcelés, contenant une infinité de formes à l’aspect d’ilots. Les agrandissements informatiques permettent d’obtenir des images que l’œil humain n’a jamais vues auparavant. L’incroyable immensité de l’ensemble de Mandelbrot a conduit Tim Wegner et Mark Peterson à la remarque suivante « Peut-être avez-vous entendu parler de cette société qui, moyennant l’acquittement d’une somme, attribuera votre nom à une étoile. Peut-être en sera-t-il bientôt de même avec l’ensemble de Mandelbrot ! ».
Nirare's Blog 