Archive pour 22 février 2011

Les fractales en Finance, vue d’ensemble


A travers les différents articles, exemples, et illustrations que nous vous avons proposé, nous avons démontré que la géométrie et la pensée fractale s’appliquaient dans nombre de domaines, aussi bien dans la faune que dans la flore et tout simplement dans la grande majorité des éléments qui composent notre environnement. Mais si l’on peut appliquer les travaux de Mandelbrot à la côte britannique ou à une forme géométrique tel que le flocon de Von Koch, on peut aussi l’utiliser pour les cours de bourse qui constituent un des éléments majeurs de notre économie actuelle. Dans la finance aussi nous reprendrons l’idée de rugosité déjà vu précédemment, auquel s’ajoutera le principe essentiel en finance de volatilité des marchés boursier.

Mandelbrot se lança dans l’analyse des marchés boursiers au coté des d’économistes spécialisés en finance. Il découvrit alors que comme bien d’autres éléments, le prix du coton suivait un modèle totalement erratique et irrégulier, et que personne ne pouvait réellement prédire les variations de n’importe quel prix en particulier.  Il entreprit alors la tournée de plusieurs universités Américaines afin de présenter ces découvertes,  qui allait à l’encontre de la « théorie financière moderne qui était établit et à l’essence même de la compréhension et de l’analyse des marchés et qui l’est encore aujourd’hui.

De par cette remise en question de la compréhension actuelle des marchés financiers , Les fractales ont  bel et bien un aspect révolutionnaire.  Et c’est peut être à cause de ce même aspect que les fractales n’ont toujours pas percé et imposé leurs principes dans le monde de la finance. En effet, malgré les nombreuses publications sur ce sujet depuis les premiers écrits de Mandelbrot sur le cours du coton en 1960 jusqu’à ses ouvrages  The (Mis)behavior of markets en2004 et, en Français, Une approche fractale des marchés en 2005, l’impact de cette nouvelle théorie reste quasiment nul dans le domaine académique (voir interview de Steve Ohana, professeur à l’ESCP).

Mandelbrot lui-même a tenté d’expliquer cette difficulté :

« Pourquoi l’ordre ancien perdure-t-il ? Habitude et confort. Ses mathématiques sont au fond simple, et peuvent être rendu impressionnantes et mystérieuses pour qui quiconque n’est pas un scientifique émérite. Les business schools du monde entier continuent de les enseigner. Elles ont formé des milliers de cadre financiers, de conseillers en investissement. Même si , comme la plupart de ces diplômés l’apprennent par l’expérience, rien ne fonctionne comme annoncé ; ils doivent alors développer des myriades d’améliorations ad hoc, d’ajustements, d’accommodations pour pouvoir accomplir leurs tâches. Néanmoins, tout ceci apporte une réconfortante impression de précision et de compétence. Cette assurance est illusoire, bien évidemment. Le problème réside dans les racines du modèle standard. »

2011
02/22
CATEGORY
Les Fractales en économie
Laisser un commentaire

Propriétés des fractales


Quand nous parlons de propriétés des fractales, ont devrait plutôt s’exprimer en disant « particularités » des fractales. En effet, les fractales étant déjà définies, il nous reste  juste  a expliquer certaines de leurs particularités.

  • La dimension fractale.

Les trois dimensions entières

Enumérons et détaillons les dimensions entières, cartésiennes et connues de tous :

  • La dimension D d’un segment (par exemple) est de 1. Lorsque la taille du segment est double, on multiplie sa longueur par 2.
  • La dimension D d’une surface simple et bornée (mettons l’aire d’un carré) est de 2.lorsque la taille des longueurs se double, il faut multiplier par 4 l’aire (4=2²).
  • La dimension D d’un volume simple et borné dans l’espace (prenons un cube) est de 3. Si on multiplie par 2 les arrêtes de ce cubes (ses « segments »), il faudra multiplier par 8 son aire (8=2³).

Une illustration sera la bienvenue pour éclaircir ces données et ces explications.

 

On peut donc dire que si D est la dimension d’un objet, alors la mesure de cet objet est multipliée par nD lorsque la taille de cet objet est multipliée par n.

Maintenant, nous allons trouver, grâce à cette nouvelle approche, une dimension d’objet fractale.

Prenons par exemple la courbe de Van Koch.  Nous savons que cette courbe est constituée de quatre copies d’elle-même, trois fois plus petites. C’est cette fonction qu’il suffit de répéter, d’itérer afin d’obtenir un courbe de Koch. Donc, la courbe est multipliée par 4 lorsque sa taille triple, et Puisque 4 = 31,26, on peut considérer intuitivement qu’il s’agit d’un objet de dimension D=1,26. ). Il ne s’agit plus d’un simple courbe unidimensionnelle, ni d’une surface, elle se situe « entre les deux ». Cette « dimension fractale », non entière, est caractéristique des ensembles fractals.

Voici enfin la formule permettant de  calculer la dimension  de fractales formées de répliques d’elle-même en plus petit.

 

Où la fractale de départ est formée de n exemplaires dont la taille a été réduite d’un facteur h (pour homothétie).

Voici un tableau comprenant toutes les dimensions fractales, en fonction de chaque ensemble :

Définition Applicabilité Formule Commentaires
Dimension de Hausdorff la plus rigoureuse, elle est peu aisée à mettre en œuvre. où Hs(X) est la mesure de Hausdorff de l’ensemble Elle s’appuie sur une mesure, la mesure de Hausdorff. C’est la valeur critique de s pour laquelle la valeur de la mesure Hs(X) passe de 0 à l’infini.
Dimension d’homothétie (1) Limitée aux ensembles à homothéties internes Dh est solution de  où N est le nombre d’homothéties et rk le rapport de l’homothétie de rang k. Dans le cas de rapports identiques, elle admet une solution analytique simple (voir ci-dessous) C’est la traduction la plus simple simple de la dimension de Hausdorff, applicable aux seuls ensembles fractals a homothétie interne. Attention, cette formule n’est pas applicable dans le cas de transformations affines ou non-linéaires.
Dimension d’homothétie (2) Limitée aux ensembles à homothéties internes de même rapport où N est le nombre d’homothéties et r le rapport d’homothétie C’est un cas particulier de solution pour l’équation générale ci-dessus. La dimension d’homothétie vaut alors le quotient logarithmique entre le nombre d’homothéties internes de l’ensemble, sur l’inverse du rapport d’homothétie.
Dimension de Minkowski Bouligand ou « Box-countig » Tout ensemble où N(ε) est un nombre de sous-ensembles de diamètre au plus ε nécessaires pour recouvrir l’ensemble. La plus courante et la plus simple pour mesurer numériquement la dimension d’une fractale. Elle prend pour base la couverture de l’ensemble fractal par des ensembles de taille décroissants. S’appuie sur une notion de comptage et non de mesure, ce qui la rend moins universelle. Peut, alors, être supérieure à la dimension de Hausdorff, mais jamais inférieure.

Relations entre ces dimensions

On montre, dans le cas général, que :

où :

Dt est la dimension topologique de l’ensemble

Dc est la dimension de corrélation de l’ensemble

Di est la dimension d’information de l’ensemble

DH est la dimension de Hausdorff de l’ensemble (ou dimension d’homothétie)

Dbox est la dimension de Minkowski de l’ensemble

Dd est la dimension « divider » de l’ensemble

En cas d’autosimilarité stricte, on dit que DH = Dbox.

Mais a notre niveaux, on s’arretera à la brève formule :    

Exemples d’ojet fractales a dimensions diverses :

  • Un côté du flocon de Koch est formé de n = 4 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut :

  • Le triangle de Sierpinski est formé de n = 3 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 2 . Sa dimension fractale vaut :

 

  • Le tapis de Sierpinski est formé de n = 8 exemplaires de lui-même réduit d’un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut :

 

Un objet fractale de dimension 2,47 :

Applications et limites

La recherche de la dimension fractale trouve des débouchée dans de nombreux domaines tels que la physique, l’analyse d’image, l’acoustique, l’analyse des zéros de la fonction de Riemann[ ou les processus electrochimiques.

Les définitions de dimension fractale présentées dans la section précédente s’entendent à la limite, lorsque ε tend vers zéro. Or cette limite n’est jamais atteinte dans le monde physique à cause des limites moléculaire ou quantique. Pour cette raison il n’existe pas d’objet physique fractal au sens strict.

La dimension fractale n’est, en pratique, calculée que sur un intervalle défini, généralement pour des valeurs de ε visibles (ou significatives vis-à-vis des propriétés que l’on souhaite étudier). On définira ainsi une dimension fractale apparente ou approximative.

Une courbe de Koch paradoxale. Sa dimension fractale ne traduit pas sa rugosité apparente.

Cette restriction peut également concerner des constructions purement géométriques. A titre de contre-exemple, dans l’illustration ci-contre, on a défini une figure fractale paradoxale ayant l’aspect de la courbe de Koch mais ayant la dimension fractale de l’ensemble de Cantor (log(2) / log(3)). Elle est construite à la manière de Koch sur les premières itérations, celles concernant des intervalles de longueur visibles, mais continue à l’infini avec la construction de l’ensemble triadique de Cantor. Si l’on s’en tient à l’aspect visible, on peut considérer sa dimension fractale apparente, qui vaut celle de la courbe de Koch (log(4) / log(3)), sur les intervalles de ε visibles.

Cet exemple illustre par ailleurs que dimension fractale et « rugosité » apparente, concept popularisé par Mandelbrot, ne vont pas toujours de paire.

  • caracteristique fractale

Un objet fractal possède au moins l’une des caractéristiques suivantes :

  • sa dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa dimension topologique. Cette caractéristique est généralement prise comme définition même d’un objet fractal. Pour exprimer la chose autrement, un réseau d’irrigation est un déploiement de lignes (« en 1D ») qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (« en 2D »). La surface du poumon (« en 2D ») est repliée en une sorte de volume (« en 3D »). De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension non-entière.
  • il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
  • il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
  • il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c’est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties .
2011
02/22
CATEGORY
Les Fractales en mathématiques
Laisser un commentaire

Interview 1. Steve Ohana, Fractales en finance


 Steve Ohana polytechnicien et co-dirigeant de Riskelia, société visant à assurer une certaine prévision du risque, a conçu avec plusieurs de ses partenaires, un logiciel et un outil permettant, entre autres de définir les bulles et d’alerter les sociétés dans le cas où cette dérnière surviendrait dans leur secteur.Mais définissons brièvement cer qu’est une bulle. Une bulle financière, c’est lorsque les prix s’écartent de la valorisation économique habituelle suite à la croyance, aux éspérances et la spéculation des acheteurs. Les fractals comme bien d’autres outils permettent entre autres, de détecter ces bulles.

– Nirare:  Bonjour Mr Ohana, alors pour commencer, avez vous recours à la géométrie et à la notion de fractale au quotidien ?

Steve Ohana: Ce que nous faisons au quotidien, pour détecter les comportements moutonniers,  reste philosophiquement très proche des fractales mais nous n’utilisons pas la géométrie fractale en tant que telle, c’est à dire celle de Mandelbrot. Nous essayons d’observer et de détecter des phénomenes de régularité trop importants qui se développent dans un cours boursier. Il peut s’agir du pétrole par exemple ou d’une action quelquonque ou encore une obligation, bref de n’importe quel actif financier.

– Nirare: Donc en gros, si ça ne varie pas assez c’est pas bon.

S.O : Si ce n’est pas assez irrégulier, effectivement. Si le cours évolue de manière trop constante, que ce soit vers le haut ou vers le bas, c’est le syndrome d’une anomalie d’un comportement trop moutonnier et donc instable. C’est ce qu’on appel une bulle. Et c’est là qu’interviennent les fractales. En effet dans un tel cas, la dimension fractale ou le coefficient de hurst, est-ce que tu vois ce qu’est le coefficient de Hurst ?

Nirare: Plus ou moins…

S.O: En fait, c’est un outil qui donne une idée du désordre dans un objet fractale, par exemple, mais pas seulement. En réalité c’est très lié à la dimension fractale. Un coefficient de Hurst égale à 0,5 équivaut à un mouvement Brownien [En finance, mouvement aléatoire où chaque point ne dépend pas du point qui précède. Décrit pour la première fois par le botaniste Robert Brown, il est d’abord et avant tout défnit et observé au niveau des particules mais a ensuite été repris et est aujourd’hui très utilisé dans le monde financier.]. Lorsque le coefficient de Hurst est supérieur à 0,5, on assiste à un phénomène d’auto-amplification des évènement, c’est à dire qu’un évènement positif va entrainer une probabilité plus grande d’observer un évènement positif dans l’avenir, de même un évènement négatif crée une probabilité supérieur d’observer un évènement négatif plus tard. En revanche, si le coefficient de Hurst est inférieur à 0,5, ce sera le contraire, c’est à dire qu’un évènement positif sera suivi d’un évènement contraire- évènement négatif.

Nirare:Mais comment est-ce possible ? Comment un évènement peut engeandrer son opposé ?

 S.O: C’est de la rétroaction. C’est à dire qu’il y a des systèmes qui s’auto-régulent. Ces phénomènes sont très fréquents dans le corp humain notamment. Si par exemple, la température du corp qui aumente, on assistera à un phénomène de retour qui ramenenera la température à la normale [ on pourrait aussi donner l’exemple du systeme de régulation de la glycémie, avec l’insuline et le glucagon].

Nirare: Alors finalement comment surviennent ces phénomènes d’amplification ?

S.O:  En économie, ce sont des facteurs collectifs, humains, psychologiques qui vont faire en sorte qu’une rumeur ou une nouvelle négative vont s’auto-amplifier. Les phénomènes d’auto-régulation quant à eux arrivent beaucoup plus rarement. On en observe tout de meme dans le marcgé des biens qui ne fonctionnent pas comme le marché financier. Je m’explique: Dans les marchés des des biens, une augmentation de la demande va engeandrer une augmentation conséquente des prix et donc une croissance de l’offre pour le produit concerné, sa production devenant interressante et plus lucratif. Ainsi, L’augmentaion de l’offre et la diminution de la demande va faire revenir le produit à son prix initial, il existe donc bel et bien un phénomène de rétroaction négatif et donc d’auto régulation. Pour un actif financier en revanche, l’augmentation du prix d’un actif va entrainer l’augmentation de la demande pour cet actif puisqu’on a tendance à extrapoler dans le futur le comportement passé, c’est à dire que l’on espere que l’actif en question continuera à augmenter. Et donc, s’il y a encore plus de demande pour cet actif le prix va continuer à augmenter. Et s’il augmente encore plus, la demande augmentera encore elle aussi etc… etc…On arrive alors directement à la bulle et  Le phénomène d’auto-amplification devient alors évident. 

Nirare: Et où-est ce que les fractales interviennent dans tout ça ?

S.O: Certains outils et travaux que Mandelbrot a conçu et effectué tel que la dimension fractale permettent de définir et de savoir si l’on assiste bel et bien à une bulle, outils et travaux qui s’apparentent à ceux de Hurst effectué auparavent, qui en modelisant le cru du nil a démontré avec le coefficient dont on a parlé precedemment que chacun d’entre eux dépendaient de ceux qui le précédait , du fait que si le cru fut particulierement important alors ceux qui le suivront le seront encore plus, ce qui crée des phénomènes extremes à la fin. Hurst fut donc le premier à établir ces principes et à modéliser ces événements, Mandelbrot est venu par la suite. Dans le cours boursier, nous pouvons aussi caractériser ces choses là, c’est à dire des phénomènes d’auto-amplification ou au contraire des phénomènes d’auto-correction. En pratique on observe tout de meme beaucoup plus de phénomènes d’auto-amplification, avec un coefficient de Hurst supérieur à 0,5, que des phénomènes d’auto-correction. Et tout ça est très liée à la dimension fractale. Lorsque que le coefficient de Hurst est supérieur à 0,5 et qu’on assiste donc à un phénomène d’auto-amplification, l’irrégularité va disparaitre. Donc si tu reviens à ce que disait Mandelbrot sur les fractales, le désordre de la figure, ici le cours de bourse, va progressivement s’amenuir et s’ordonner, et sera presque rectiligne. La dimension fractale s’approchera alors très fortement de 1.

Nirare : Et c’est là où on se rend compte qu’il y a un probleme…

S.O: Exactement.

Nirare : Et qu’est ce qu’a émit Mandelbrot comme idée sur toutes ces notions ?

S.O: Mandelbrot s’est limité à un travail descriptif et non normatif. C’est à dire qu’il a expliqué comment les marchés sont et non pas comme ils devraient être. Il a ainsi expliqué que les marchés ne sont pas efficient [voire article fractales, bulles et marchés], qu’ils ne suivent pas un mouvement brownien, et que ce ne sont pas des modèles où il y ades surprises indépendantes chaque jour, mais les marchés financiers peuvent bel et bien contenir et observer en leur sein des phénomènes moutonniers qui entrainent très souvent des bulles. Des bulles qu’il faut crever dès que possible par une intervention exterieur, par exemple en restreignant les crédits ( par exemple dans le marché immobilier, les gens sont obligés d’emprunter pour pouvoir aquérir un bien. Si les crédits sont limités, alors forcément la demande est limité et la bulle est normalement crevé. )

 Nirare: Donc finalement, Concretement, comment peut-on utiliser les fractales en finance ?

S.O: Finalement, comme le coefficient de Hurst, les fractales permettent de définir et d’affirmer si nous sommes témoins d’une bulle. Ainsi, comme je l’ai déjà évoqué, si le coefficient de Hurst est supérieur à 0,5, la dimension fractale elle sera environ égale à 1 et le cours aura sensiblement, et parfois même totalement, une forme lisse, droite. Il faut tout de même préciser que si dans un tel cas la dimension fractale avironne les 1, dimension propre aux forme lisse, cette même dimension ne pourra en général, pas dépasser les 2. Nous parlons en effet, d’un cours de bourse, et de ce fait nous sommes dans un espace définit et limité. Quoiqu’il en soit si la dimension fractale est proche de 2, cela reste un signe très positif, car cela implique un irrégularité très forte. Et c’est là peut être tout le paradoxe, irrégularité implique stabilité alors que régularité implique instabilité.

Nirare: Mais, comment cela est-ce possible, je veux dire, comment est-ce que cela se traduit dans la réalité ?

S.O: En fait, lorsque le cours est irrégulier, cela implique que les gens réagissent de manière rationnelle à l’information, si cette dernière et positive ils réagiront de manière positive et si elle est négative, ils réagiront de manière négative, mais toujours avec une certaine modération. En revanche, un cours de bourse trop régulier implique un comportement irrationnelles des investisseurs puisqu’ils ne se basent seulement sur le passé et que la raison pour laquelle ils achètent réside dans le fait que, précédemment ce cours a connu une certaine hausse, ils veulent en réalité faire une plus value à cours terme. Dans ce dernier cas, l’instabilité sera très forte puisqu’il suffit qu’il y est une mauvaise nouvelle pour que tous se renverse, et que la spirale positive devienne négaive.

Nirare: Alors les fractales se limitent-ils à une analyse et une caractérisation des marchés ?

S.O: Pour l’instant oui, mais peut être que plus tard ils pourront mené à une régulation des marchés. Si le régulateur s’aperçoit que c’est trop régulier, cela pourrait déclencher une régulation automatique, par exemple restreindre le crédit- les gens ne pouvant plus emprunter ne pourraient plus acheter- ce qui ferait tout de suite dégonfler la bulle. Et nous justement, nous ne nous adressons pas seulement aux entreprises mais aussi aux régulateurs eux même. En tout cas on pourrait penser à utiliser les dimensions fractales pour déclencher des interventions. Pour l’instant, je vois des déclarations du régulateur Britannique qui pourrait aller dans ce sens là. Il ne parle pas de fractal mais il utilise plusieurs outils qui lui permettent d’être alerter en cas d’anomalie, en cas de bulle.

Nirare: On sait que les fractales constituent une notion assez récente, quand est ce que vous, personnellement, vous en avez entendu parler la prmière fois ?

S.O: En fait, mon frère, Jean Jaques- aujourd’hui mon associé- utilisait dans ses stratégies de trading [ stratégie visant à acheter et à vendre les actions au moment le plus opportun, en limitant les pertes tout en augmentant le gains], utilisait des outils qui s’apparentait fortement aux fractals, et a pour y parvenir, consulté plusieurs ouvrages de Mandelbrot. Ces outils et cette stratégie asez originale lui permettait ainsi de limitait les pertes causées par les bulles et de s’écarter de ces dernières.

Nirare: Donc vous, dans votre société, vous alertez les entreprises quant au problème des bulles, si j’ai bien compris ?

S.O: Tout à fait.

Nirare: Mais comment ?

S.O: Nous avons conçu un model qui tourne sans arrêt. Un peu comme s’il estimait la dimension fractale du cours chaque semaine. Et ensuite, on envoie une lettre à nos clients les tenants au courant de l’évolution des marchés, et s’il y en a, des bulles.

Nirare: En quoi les fractales sont elles révolutionnaires dans la finance, en quoi vont elles à l’encontre des systèmes établient jusqu’alors ?

S.O: C’est toute la division entre les gens qui estiment que les marchés sont efficients et ceux qui pensent qu’ils ne le sont pas [voire article fractales bulles et marchés]. Dire que les marchés sont efficients exclu toute possibilité d’utilisation des fractales. Aujourdh’ui, nombre de personnes pensent encore que les marchés sont efficients mais les divers crises, anomalies et cracks remettent cette avis en question. Riskelia en tout cas est persuadée et est basée sur le fait que les marchés sont non-efficients, puisque dans les marchés efficients, les bulles à proprement parler n’existent pas. Dans l’idée d’une bulle le crack est prévisible c’est à dire que le prix est bien trop élevé par rapport à ce que ça vaut fondamentalement,

Nirare: Donc, vous me dites si je me trompe…

S.O: Il faut me tutoyer, ça va me vieillir sinon… (sourire)

Nirare: (rire) très bien, donc tu me dis si je me trompe, dans le contexte d’une bulle dès que l’acheteur se rend compte qu’il y a une baisse, aussi petite soit elle, il sera tout de suite tenté de vendre alors que si nous ne sommes pas dans une bulle, l’acheteur sait que l’entreprise elle même va forcément obtenir des bénéfices conséquent, c’est d’ailleurs pour ça qu’il a acheté les actions, et il ne sera pas tellement perturber par une décroissance.

S.O: Effectivement, dans le contexte d’une bulle, l’instabilité est très forte, tout le monde sait qu’il s’agit d’un chateau d’argile et à la moindre mauvaise nouvelle tout le monde se dit que c’est la fin du jeu et vend tout de suite.

Nirare: Vous, pardon tu, as dis que les fractals pourraient éventuellement être utilisé, mais plus tard. Est-ce que aujourd’hui elles ont déjà eu un certain impact sur le monde financier ?

S.O: Non pas réellement. Les fractales restent très marginales. Peut être quelques personnes individuellement, dans leur coin mais ça s’arrête là.

Nirare: Et des personnes comme Taleb, auteur du cygne du noir qui reprend souvent l’idée de fractales ?

S.O : Même Taleb,pour gérer son argent ou un fond quelquonque je ne pense âs qu’il utilise des fractales. Nous, personnellement oui, ça nous arrive de les utiliser. Mon frère, comme je l’ai évoqué plus haut l’a déjà fait. Mais il reste tout de même des models, des théories opperationnelles qui s’approchent de la pensée fractale, mais cela reste une minorité.

Nirare: A quelle fréquence observe-t-on des bulles ?

S.O: Chez Riskelia on estime qu’aujourd’hui, elles sont de plus en plus fréquentes. En fait, on est rentré dans un système que l’on appel bubble on/ bubble of, c’est à dire que soit les gens ont de l’appetit pour le risque et à ce moment là il y a des bulles qui apparaissent dans tous les secteurs, que ce soit les matières première, l’immobilier etc… soit d’un coup les gens ne veulent plus prendre de risque et les bulles se déconstruisent en même temps. Après, c’est vrai que sur le principe même de bulle il existe plusieurs opinions, et forcément selon si l’on appel facilement une tendance une bulle ou pas, ces dernières seront plus ou moins fréquentes.

Nirare: tu enseignes en Université, est ce que le principe de fractales se développe dans le monde de l’enseignement ou reste-t-il comme ailleurs, une notion totalement nouvelle voire encore inconnu ?

S.O: Non, presque aucun professeur ne mentionne les fractales. Moi personnellement, oui. J’ai, en effet, une totale liberté sur ce que j’apprend à mes élèves et je leur explique effectivement que les marchés ne sont pas efficients et donc, que les fractales peuvent rentrer en ligne de compte. Les fractales n’ont donc pas encore pris la place qu’elles mériteraient dans le monde de la finance comme dans celui de l’enseignement. Mais qui sait, un jour peut être elles seront à la base d’une régulation absolument nécessaire au marché financier.

2011
02/22
CATEGORY
Les Fractales en économie
3 commentaires

Fractales et Mathématiques, introduction.


Les sciences fractales, bien qu’appliquées dans des domaines éparses et multiples sont tout d’abord des sciences mathématiques, c’est à dire qu’elle ont vues le jour dans un bureau, suite a des années de recherche et de calculs. Quand on ouvre un livre traitant de sujets fractals, appliqués à n’importe quelles fins, on y trouve obligatoirement des calculs complexes ainsi que des notions mathématiques avancées. Comme nous en avons déjà un peu parlé, les fractales sont une sorte de merveilleuse machine a comprendre l’incompréhensible et a mesurer l’immesurable. Cette machine, si merveilleuse soit elle, est elle même régie par des lois, des théorèmes et des algorithmes précis. Des théorèmes, algorithme et autres systèmes de calculs ont donc été mis en place afin d’accéder a de nouvelles découvertes et a une vision du monde autre que cartésienne.

La découverte de cet univers n’a pu se faire sans moyen informatique. Les fractales sont nouveaux, mais cette théorie ne l’est pas. Des ensembles et des objets fractals ont vus le jour avant l’ère informatique. Les célèbres mathématiciens allemands Cantor et Hausdorff ainsi que le jeune français, Gaston Julia avaient déjà une idée de cette partie des mathématiques alors peu répandue, mais n’eurent pas la possibilité d’exploiter pleinement leur connaissance, a cause de l’absence de toute aide informatique.

Le premier qui réussit à faire la plus grande avancée a ce niveau est le mathématicien français d’origine polonaise, benoit Mandelbrot. Il réussi à utiliser les moyens informatiques de son époque (des années 70) pour développer la géométrie fractale. Le travail devient alors beaucoup plus rapide et plus simple, les fractales sont enfin « banalisées » et mises a la portée de tous (même aux mains de lycéens miséreux et incultes que nous sommes).

Derrière le principe du « zoom » (propriété fondamentale des fractales) se cachent cependant des « monstres mathématiques », des structures géométriques, algébriques. Ces objets fractals peuvent se définir comme des structures obtenues par l’itération d’un algorithme géométrique sur une figure. Pour construire des objets fractals, nous débutons avec un objet graphique quelconque (ligne, triangle, carré, cube, etc.…). Par la suite, on définit une opération, ou une série d’opérations, qui ajouteront un élément de complexité à l’objet initial. Nous appliquons à l’infini les transformations choisies à l’objet de départ.

nous allons donc presenter cette partie sous deux aspects, tout d’abbord la presentation de caractéristiques fractales, avec leur dimensions; et ensuite, la presetation d’objets fractals divers.

au cours de notre recherche sur les formules et lespropriétés des fractales, décrites parmandelbrot dans son euvre, « les objets fractals » , nous avons remarqué que toutes ces formules et ces regles de mathématiques sont beaucoup trop complexe, et qu’a notre niveau on ne pouvait pas tellement y toucher ou même s’y interresser.

2011
02/22
CATEGORY
Les Fractales en mathématiques
Laisser un commentaire